Le scommesse sui cavalli e la risurrezione di Gesù (II)

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Nell'ultimo articolo ho usato un piccolo problema ippico/matematico per introdurre il teorema di Bayes nella sua forma basata sull'odds, cioè sul rapporto tra la probabilità p che un evento 'A' si verifichi e quella 1-p che non si verifichi: O (A) = p / (1-p).

Alla fine di quello stesso articolo, promettevo anche un qualche collegamento tra questa formulazione del teorema di Bayes e la risurrezione di Gesù. Ovviamente la chiave di questa promessa si trova nell'articolo subito anteriore, «Validità della testimonianza degli apostoli riguardo la risurrezione di Gesù», in cui spiegavo a parole per quale motivo la testimonianza degli apostoli di Gesù riguardo la sua risurrezione non è una prova sufficiente per accettare come vera l'ipotesi che un essere umano sia risorto. Ora, con l'aiuto del teorema di Bayes, possiamo calcolare quanto sia improbabile questa ipotesi.

La formula di Bayes

Prima un piccolo riepilogo. Detti O(H) l'odds dell'ipotesi 'H' a prescindere dal verificarsi dell'evento 'E', P(E|H) la probabilità di osservare l'evento 'E' quando l'ipotesi 'H' è vera, P(E|¬H) la probabilità di osservare l'evento 'E' quando l'ipotesi 'H' è falsa, e O(H|E) l'odds dell'ipotesi 'H' quando si osserva l'evento 'E', il teorema di Bayes si esprime nella seguente forma:

O ( H | E ) = O ( H ) * P ( E | H ) / P( E | ¬H ),

ovvero che l'odds dell'ipotesi 'H' osservato l'evento 'E' è pari all'odds dell'ipotesi 'H' indipendentemente dall'osservazione di 'E' moltiplicato per il rapporto di verosimiglianza, cioè il rapporto tra la probabilità di osservare l'evento 'E' quando l'ipotesi 'H' è vera e la probabilità di osservare l'evento 'E' quando l'ipotesi 'H' è falsa. Attraverso tale rapporto è quindi possibile aggiornare l'odds di un'ipotesi a seguito dell'osservazione di un evento.

L'oggetto dell'indagine

L'ipotesi 'H' che ci interessa è «Gesù è realmente risorto», intendendo che Gesù fosse un essere umano e che "risorto" significhi che il suo corpo sia tornato a vivere. Non abbiamo un'osservazione diretta di questa risurrezione, ma abbiamo osservato l'evento 'E' «gli apostoli di Gesù ne testimoniarono la risurrezione».
La domanda che ci poniamo è quanto valga O(H|E), ovvero quale sia l'odds che l'ipotesi «Gesù è realmente risorto» sia vera considerato l'evento 'E' «gli apostoli di Gesù ne testimoniarono la risurrezione». Applicando il teorema di Bayes, scopriamo che questa quantità dipende da tre fattori:

1. l'odds che l'ipotesi 'H' sia vera a priori, O(H), ovvero l'ipotesi che Gesù sia risorto a prescindere dalla testimonianza degli apostoli;
2. la probabilità che gli apostoli testimonino la risurrezione nel caso in cui Gesù sia realmente risorto, P(E|H);
3. la probabilità che gli apostoli testimonino la risurrezione nel caso in cui Gesù non sia realmente risorto, P(E|¬H).

Quanti uomini sono vissuti sulla Terra?

Qual è la probabilità che Gesù sia risorto, a prescindere dalla testimonianza degli apostoli? Considerato che tale testimonianza è l'unica prova di tale evento, non è irragionevole pensare che la risurrezione di Gesù abbia in generale la stessa probabilità di verificarsi della risurrezione di ogni altro essere umano.