Le scommesse sui cavalli e la risurrezione di Gesù (I)

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Un vostro amico appassionato di ippica vi ha convinti ad andare all'ippodromo in una giornata di corse. State aspettando l'inizio delle gare e decidete che, in fin dei conti, una piccola scommessa ci starebbe bene. Leggete il programma della prima corsa e il nome di un cavallo vi salta agli occhi: Soldatino!

Chiedete al vostro amico se Soldatino sia un buon cavallo, ma la risposta è decisamente negativa: di 105 gare alle quali ha partecipato, si è piazzato (cioè è arrivato entro i primi tre posti) in appena 7, ovvero per ogni piazzamento ottenuto non si è piazzato per ben 14 volte! Insomma, non esattamente il favorito della gara..

Vedendo la vostra delusione, il vostro amico cerca di tirarvi un po' su il morale: «Durante la notte è piovuto molto, e quindi la pista è molto pesante». Notando la vostra espressione interrogativa, il vostro amico vi spiega che nel 70% delle volte che Soldatino si è piazzato, il terreno era pesante, mentre in quelle volte in cui è arrivato dal quarto posto in poi, il terreno era pesante nel 10% dei casi.


A questo punto la confusione si dipinge sul vostro volto: a voi serve sapere con che probabilità Soldatino arriva tra i primi tre nelle corse su terreno pesante, ma quello che sapete è con che frequenza si piazza in tutte le corse (7 su 105), e con che probabilità il terreno è pesante quando si piazza (il 70%) e quando non si piazza (10%). Come arrivare all'informazione che vi serve?

Sapete che Soldatino si è piazzato 7 volte e di queste il 70% era col terreno pesante; e che non si è piazzato per 98 volte (105-7), e di queste il 10% era su terreno pesante. Per conoscere con che probabilità Soldatino si piazzi sul terreno pesante bisogna fare il rapporto tra queste due entità, ovverosia moltiplicare il rapporto "piazzamenti":"non piazzamenti" (7:98, ovvero la quotazione del piazzamento) per il rapporto tra 70% e 10%, cioè 0,70/0,10, che fa 7. E 7:98 moltiplicato per 7 dà 49:98, cioè 1:2, ovvero su terreno pesante Soldatino vince una gara ogni tre; davvero niente male!

Contentissimi per questa scoperta, vi precipitate a giocarvi Soldatino piazzato; peccato però che anche gli allibratori sappiano fare bene i conti, che Soldatino sia dato piazzato per due volte la posta e che quindi non vi convenga giocarlo!

Forse non diventerete ricchi, ma avete appena riscoperto un fondamentale teorema della probabilità, il teorema di Bayes: in questa formulazione, il teorema dice che la quotazione del piazzamento di Soldatino su terreno pesante, cioè il rapporto tra il numero di volte in cui arriva entro il terzo posto e il numero di corse in cui si classifica dal quarto posto in giù - indichiamola con O(piazzamento|pesante), dove la 'O' deriva dall'inglese odds - è pari alla quotazione del piazzamento su qualunque terreno - che chiameremo similmente O(piazzamento) - moltiplicato per il rapporto tra la probabilità che il terreno sia pesante in caso di piazzamento - P(pesante|piazzamento), dove 'P' sta per probabilità - e quella che il terreno sia pesante quando Soldatino non riesce a piazzarsi - ovvero P(pesante|mancato piazzamento) - (quest'ultimo rapporto è il cosiddetto «rapporto di verosimiglianza»). Riassumendo:

O(piazz.|pesante) = O(piazz.) * P(pesante|piazz.) / P(pesante|manc. piazz.)

ovvero:

O(piazz.|pesante) = 7:98 * 0,70 / 0,10 = 7:98 * 7 = 49:98 = 1:2

Questa formulazione del teorema di Bayes può essere generalizzata al caso in cui siamo interessati, invece che al piazzamento di Soldatino, ad una generica ipotesi 'H' e a come cambia la sua quotazione quando sappiamo che si è verificato l'evento 'E':

O(H|E) = O(H) * P(E|H) / P(E|¬H)

dove O(H) è la quotazione dell'ipotesi 'H' a priori, prima dell'evento 'E', P(E|H) è la probabilità che si osservi l'evento 'E' quando l'ipotesi 'H' è vera, P(E|¬H) la probabilità dell'evento 'E' quando l'ipotesi 'H' è falsa, e O(H|E) è la quotazione dell'ipotesi 'H' a posteriori, ovvero dopo che l'evento 'E' si è verificato.

Ma cosa c'entra questa storia con la risurrezione di Gesù? C'entra, c'entra...

Ian Pollock, «Odds again: Bayes made usable», Rationally Speaking, 29 novembre 2012.